Алгебра и теория чисел для криптографии. Учебное пособие для вузов (Мартынов Леонид Матвеевич) ; Лань, 2022

ПРЕДИСЛОВИЕ
0. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
1.1. Метод математической индукции
1.2. Основные правила комбинаторики
1.3. Правило исключений и включений
1.4. Соединения без повторений
1.5. Бином Ньютона
1.6. Соединения с повторениями
1.7. Четность перестановок и подстановок
2. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.
2.1. Бинарные алгебраические операции и их
свойства
2.2. Полугруппы, моноиды и их простейшие
свойства
2.3. Группы и их простейшие свойства
2.4. Кольца и их простейшие свойства
2.5. Поля и их простейшие свойства
2.6. Изоморфизм алгебраических структур
2.7. Подструктуры
3. ДЕЛИМОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
3.1. Наибольший общий делитель целых чисел
3.2. Наименьшее общее кратное целых чисел
3.3. Простые числа
3.4. Открытые проблемы теории делимости
целых чисел
4. СРАВНИМОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.
4.1. Понятие и простейшие свойства
сравнений
4.2. Полная система вычетов по модулю
4.3. Функция Эйлера и приведенная система
вычетов
4.4. Кольца и поля классов вычетов целых
чисел
4.5. Примеры использования теории сравнений
в криптографии
5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
5.1. Построение поля комплексных чисел
5.2. Действия над комплексными числами в
алгебраической форме
5.3. Действия над комплексными числами в
тригонометрической форме
6. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
6.1. Построение кольца многочленов от одной
переменной
6.2. Делимость многочленов

6.3. Приводимые и неприводимые многочлены
6.4. Производная многочлена и формула
Тейлора
6.5. Рациональные дроби
6.6. Многочлены над полем комплексных чисел
6.7. Многочлены над полем действительных
чисел
6 8. Многочлены над полем рациональных чисел
6.9. Уравнения третьей и четвертой степени
7 СРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
7.1. Равносильность алгебраических
сравнений
7.2. Сравнения и системы сравнений первой
степени
7.3. Сравнения по простому модулю
7.4. Показатели и первообразные корни
7.5. Дискретные логарифмы
7.6. Двучленные сравнения
7.7. Квадратичные вычеты
7.8. Примеры использования первообразных
корней в криптографии
8. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
8.1. Операции над матрицами и их свойства
8.2. Определители квадратных матриц и их
свойства
8.3. Вычисление обратной матрицы с помощью
определителей
8.4. Решение квадратных систем линейных
уравнений
8.5. Ранг матрицы
8.6. Исследование и решение систем линейных
уравнений
8.7. Примеры использования матриц и
определителей в криптографии
9. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
9.1. Определение и простейшие свойства
векторного пространства
9.2. Подпространства и линейные
многообразия
9.3. Линейная зависимость и независимость
векторов
9.4. Размерность и базис векторного
пространства
9.5. Координаты вектора в базисе
9.6. Изоморфизм векторных пространств
10. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
10.1. Понятия скалярного умножения и
евклидова пространства
10.2. Длина вектора и угол между векторами
10.3. Процесс ортогонализации
10.4. Ортогональное дополнение
подпространства
10.5. Изоморфизм евклидовых пространств
11. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
11.1. Понятие линейного преобразования и его
матрицы
11.2. Связь между координатами вектора и его
образа
11.3. Связь между матрицами линейного
преобразования в различных базисах
11.4. Алгебра линейных преобразований
11.5. Образ и ядро линейного преобразования
11.6. Собственные векторы и собственные
значения линейных преобразований
12. ГРУППЫ.
12.1. Смежные классы группы по подгруппе
12.2. Нормальные делители и фактор-группы
12.3. Гомоморфизмы групп
12.4. Конечные абелевы группы
13. КОЛЬЦА
13.1. Идеалы колец
13.2. Сравнения по идеалам и фактор-кольца
13.3. Гомоморфизмы колец
14. ПОЛЯ.
14.1. Поля разложения многочленов
14.2. Конечные поля
15. ГРУППЫ ТОЧЕК НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
КРИВЫХ.
15.1. Группы точек на вещественных
эллиптических кривых
15.2. Группы точек на эллиптических кривых
над любыми полями
15.3. Группы точек на эллиптических кривых
над конечными полями
15.4. Примеры использования групп точек на
эллиптических кривых в криптографии
ЛИТЕРАТУРА
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ