Книга: Численные методы (Шевченко Алеся Сергеевна) ; ИНФРА-М, 2022

Предисловие
Глава 1. Элементы общей теории приближенных
методов
1.1. Источники и классификация погрешностей
1.2. Абсолютная и относительная погрешность
1.3. Десятичная запись приближенных чисел.
Значащая цифра числа.
Верная значащая цифра
1.4. Связь относительной погрешности
приближенного числа
с количеством верных знаков этого числа
1.5. Погрешность суммы, разности, произведения,
частного, степени, корня.
Вычисления без точного учета погрешностей
1.6. Прямая задача теории погрешностей
1.7. Обратная задача теории погрешностей
1.8. Точность определения аргумента для
функции, заданной таблицей
1.9. Влияние выбора вычислительного алгоритма
на результаты вычислений
1.10. Типовые задачи
Лабораторная работа 7. Элементы общей теории
приближенных методов
Контрольные вопросы и задания
Глава 2. Методы решения систем линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ)
2.1. Необходимые сведения из линейной алгебры
2.1.1. Матрицы и векторы
2.1.2. Норма векторов и матриц
2.1.3. Понятие о системе линейных уравнений
2.2. Обусловленность СЛАУ. Число
обусловленности матрицы
2.3. Методы решения СЛАУ
2.3.1. Классификация методов решения СЛАУ
2.3.2. Прямые методы решения СЛАУ
2.3.3. Итерационные методы решения СЛАУ
2.4. Решение задач линейной алгебры с
использованием Maple
Лабораторная работа 2. Решение систем линейных
алгебраических уравнений
Контрольные вопросы и задания
Глава 3. Методы решения нелинейных уравнений и
систем
3.1. Постановка задачи
3.2. Отделение корней
3.2.1. Графический метод отделения корней
3.2.2. Аналитический метод отделения корней
(табличный или шаговый)
3.3. Алгоритмы уточнения корней уравнения
3.3.1. Метод половинного деления (дихотомии)
3.3.2. Итерационные методы решения
алгебраических и трансцендентных
уравнений
3.4. Решение систем двух нелинейных уравнений
3.4.1. Метод простой итерации
3.4.2. Метод Ньютона
3.5. Двумерная графика в Maple
3.6. Использование Maple для решения нелинейных
уравнений и систем
Лабораторная работа 3. Методы отделения корней
уравнений с одной
переменной
Контрольные вопросы и задания
Лабораторная работа 4. Приближенное вычисление
корней системы
нелинейных уравнений
Контрольные вопросы и задания
Глава 4. Аппроксимация и интерполяция функций
4.1. Задача интерполирования
4.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
4.2.1. Построение многочлена Лагранжа
4.2.2. Оценка погрешности интерполирования
4.3. Интерполяционная формула Ньютона
4.3.1. Разделенные разности и их свойства
4.3.2. Формула Ньютона с разделенными
разностями
4.4. Интерполяционные и экстраполяционные
формулы при равноотстоящих значениях аргумента
4.4.1. Конечные разности и их свойства
4.4.2. Первая интерполяционная формула Ньютона
для равноотстоящих узлов интерполяции
4.4.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона
для равноотстоящих узлов интерполяции
4.4.4. Оценки погрешностей интерполяционных
формул Ньютона
4.5. Интерполирование с кратными узлами
4.6. Интерполяция сплайнами
4.6.1. Кусочно-линейное и кусочно-квадратичное
интерполирование
4.6.2. Кубические сплайны дефекта 1
4.7. Среднеквадратичное приближение (метод
наименьших квадратов)
4.7.1. Подбор коэффициентов линейной
зависимости
4.7.2. Функции, приводимые к линейной
зависимости
4.7.3. Аналитический способ выбора эмпирических
формул для нелинейных зависимостей
4.8. Решение задачи интерполяции средствами
Maple
Лабораторная работа 5. Интерполирование
функций
Контрольные вопросы и задания
Лабораторная работа 6. Аппроксимация функций.
Обработка экспериментальных данных
Контрольные вопросы и задания
Глава 5. Численное дифференцирование
5.1. Постановка задачи численного
дифференцирования
5.2. Интерполяционный подход
5.2.1. Вычисление производных на основании
многочлена Лагранжа
5.2.2. Вычисление производных на основании
многочлена Ньютона
5.3. Оценка погрешности численного
дифференцирования
5.4. Метод неопределенных коэффициентов
5.5. Полная вычислительная погрешность
численного дифференцирования
5.6. Возможности Maple для дифференцирования
Лабораторная работа 7. Численное
дифференцирование
Контрольные вопросы и задания
Глава 6. Численное интегрирование
6.1. Постановка задачи численного нтегрирования
6.2. Общий подход к построению квадратурных
формул.
Квадратурные формулы прямоугольников,
трапеций, Симпсона
6.2.1. Формула прямоугольников
6.2.2. Формула трапеций
6.2.3. Формула Симпсона
6.2.4. Метод Рунге - Ромберга - Ричардсона
6.3. Квадратурные формулы наивысшей
алгебраической точности
Построение. Погрешность
6.3.1. Квадратурные формулы интерполяционного
типа в общем виде
6.3.2. Формулы Ньютона - Котеса
6.3.3. Квадратурные формулы Гаусса
6.4. Возможности Maple для интегрирования
Лабораторная работа 8. Приближенное вычисление
определенных интегралов
Контрольные вопросы и задания
Глава 7. Численные методы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений
7.1. Некоторые сведения из теории обыкновенных
дифференциальных уравнений
7.2. Метод конечных разностей. Порядок точности
разностной схемы
7.3. Одношаговые методы
7.3.1. Метод Эйлера
7.3.2. Модификации метода Эйлера
7.3.3. Методы Рунге - Кутта
7.4. Многошаговые методы
7.4.1. Метод Адамса
7.4.2. Метод Милна
7.5. Решение дифференциальных уравнений в
Maple
Лабораторная работа 9. Численные методы
решения обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка
Контрольные вопросы и задания
Приложение. Основы Maple
Библиографический список